Soru:  İki matematikçi (sayın A ve sayın B) bir olimpiyatta yarışmaktadırlar, kendilerine 2 adet sayıdan (m ve n olsun) söz ediliyor, sayıların özellikleri;
- her iki sayı da 1'den büyük tam sayıdır
- sayıların toplamı 100'den küçüktür
- sayılar birbirlerinden farklıdır.

daha sonra;
A'ya bu iki sayının toplamının kaç olduğu söyleniyor
(yani "K=m+n" ise A sadece "K"yı biliyor)

B'ye ise bu iki sayının çarpımının kaç olduğu söyleniyor
(yani "L=m*n" ise B sadece "L"yi biliyor)

A ve B'den bu sayıları (m ve n) bulmaları isteniyor,
1 hafta sonra A ve B bir araya geldiklerinde aralarında şöyle bir konuşma geçiyor;
B- ben bu sayıları bulamadım,
A- bulamayacağını biliyordum
B- o zaman ben sayıları buldum :))
A- bu durumda ben de buldum :))

pekii bu sayılar ("m" ve "n") kaçtır ?

Yanıt: 

Araştırdığım kadarıyla cevap 13 ve 16 sayıları.

Geriye giderek sağlamasını yaptığımda her şey yerine oturdu benim için:

A kişisine sayıların toplamının 29
B kişisine de sayıların çarpımının 208 olduğu veriliyor.

-A kişisi 29 sayısına bakarak herhangi iki asal sayının toplamıyla elde edilemeyeceğini görüyor. Yani
29 sayısını ne olursa olsun iki asal sayının toplamı olarak yazamazsınız. Bu yüzden B’ye “Sayıları
bulamayacağını biliyorum” diyor. Çünkü A biliyor ki B sayıları bulmak için kendisine verilen çarpımı asal çarpanlarına ayırıp bu çarpanların oluşturduğu kombinasyonlara bakacak. B'ye verilen sayı doğrudan 2 asal çarpana ayrılabiliyorsa;m ve n sayılarını kolayca bulabilecek. Örneğin çarpımları 26 olsaydı m=13, n=2 olacaktı. Oysa A, kendisine verilen toplamın hiç bir şekilde iki asal sayının toplamı olarak yazılamayacağını buluyor!!
-B kişisi öncelikle elindeki 208 sayısının 13*16, 4*52*, 8*26 çiftlerinden biriyle elde edilebileceğini
buluyor. Daha sonra A kişisini dinliyor ve şöyle düşünüyor: “A sayıları bulamayacağımı bildiğine göre
sayıların toplamı iki asal sayının toplamıyla ifade edilemeyecek cinsten olmalı.” B için 3 olasılık
olduğundan;
13+16 = 29
4 + 52 = 56
8 + 26 = 34

34 sayısı iki asal sayının toplamı olarak ifade edilebilir : 31 + 3
56 sayısı iki asal sayının toplamı olarak ifade edilebilir : 53 + 3

Geriye sadece 29 sayısı kalıyor ki asal sayı toplamı olarak ifade edilemez.
Yanıt 13 ve 16 buluyor ve “buldum” diyor.

-A nın elindeki bilgiler sadece sayıların toplamının 29 olduğu ve iki sayının asal olmadığı ve B’nin
sayıları bulabildiği. Şimdi A’nın yapması gereken B’nin yaptığı işlemleri tahmin etmek. A 29 u oluşturan
bütün toplamları ve çarpımlarını yazıyor.

2 + 27 , 27*2 = 54
3 + 26, 26*3 = 78
4 + 25, 25 * 4 = 100
5 + 24, 24*5 = 120
6 + 23, 23*6 = 138
7 + 22, 22*7 = 154
8 + 21, 21*8 = 168
9 + 20, 20*9= 180
10 + 19, 19*10 = 190
11 + 18, 18*11 = 198
12 + 17 , 12 *17= 204
13 + 16, 13*16 = 208
14 + 15, 14 * 15 = 210
A, B’nin elindeki sayının bunlardan biri olduğunu düşünüyor(ki doğru ve sayı 208)

A bu sayıları nasıl eliyor?
Birinci sayı 54 için;
A, Yukarıdaki 2. adımda B’nin yaptıklarını uyguluyor ilk sayıyı alıyor 54 ve çarpanları 9*6, 27*2, 18*3
çiftlerini düşünüyor.

9+6 = 15 = 13 + 2
27 + 2 = 29 = 27 + 2
18 + 3 = 21 = 19 + 2

15,29,21 asal sayılar ile ifade edilebildiği için 54 sayısı ve 2,27 çifti eleniyor

12.sayı 208 için;

208 = 13*16 = 4 * 52 = 8 * 26 (B’nin olası düşündüğü m,n sayılarıdır)

13 + 16 = 29 = Asal sayı toplam ifadesi yok!!
4 + 52 = 56 = 53 + 3
8 + 26 = 34 = 31 + 3

13 + 16 asal sayı toplamıyla ifade dilemediği için A sayı çiftini bulmuş oluyor.