Bertrand Russell'a göre kümeler ikiye ayrılır: Sıradan kümeler ve sıradan olmayan kümeler.

Sıradan kümeler, sonlu-sonsuz basit küme teorisiyle açıklanabilen kümelerdir. Sıradan kümelere örnekler;

A = {a,b,c,d,e }  ,  B = {f,g,h,a,b}  ,  C = {c,h,i,j,k,l } , ....

Sıradan olmayan kümeler, kendilerini de eleman olarak kabul edebilen sonsuz kümelerdir. Sıradan olmayan kümelere örnekler;

A' = { a,b,c,d,e, A'{...}} ,   B' = {f,g,h,a,b, B'{...}}  C' = {c,h,i,j,k,l, C'{...} }

Öyle bir R kümesi vardır ki; kendisini eleman olarak kabul etmeyen kümelerin (sıradan kümelerin) hepsini kapsar.  R = {A,B,C, ...} . Bu tanıma göre R de sıradan bir kümedir.

Formal olarak :

Paradoks şu soruyla ortaya çıkar: R kümesi kendisini de eleman olarak kabul eder mi?

• Eğer etmiyorsa; R kümesi kendisini eleman olarak kabul etmeyen kümelerin (sıradan kümelerin) hepsini kapsamıyor demektir. (Çünkü kendisi yok!) Bu durum kendi tanımına aykırıdır.
• Eğer ediyorsa;  tanımı "Kendisini eleman olarak kabul etmeyen kümelerin genel kümesi" olduğu halde kendisini eleman olarak kabul etmektedir. Bu durumda R sıradan bir küme değildir ve yine kendi tanımına aykırıdır.

Paradoksun gerçek nedeni; R kümesinin iyi tanımlı (well-defined) bir küme olmamasıdır. Matematikte bazı tanımların eksikliği nedeniyle bu tür çelişkiler ortaya çıkmaktadır. Basitçe R kümesinin tanımından kendisini çıkararak (R = {...} - R) paradokstan kurtulmak mümkündür. Ama bu durumda R yine sıradan kümelerin genel kümesi olmaktan çıkar. Sonuç olarak tam tanımlı bir R kümesi yazılamaz.

Diğer taraftan matematiğin temel kavramları da (küme, nokta, sayı...vs.) iyi tanımlı değildir. Bunun farkında olan matematikçiler iyi-tanımlılık problemini çözebilmek için "aksiyomatik" yaklaşımı benimsemişlerdir.

Russel paradoksu (1901) keşfiyle birlikte matematikteki küme teorisini ikiye ayırmıştır: Russel paradoksundan öncesi ve sonrası.

Russel paradoksundan öncesi:

Naive küme teorisi; hepimize ilkokulda öğretilen basit küme teorisidir. Konuları: Alt kümeler, Venn diagramları, kesişim/birleşim/fark kümeleri.

Russel paradoksundan sonrası:

Aksiyomatik küme teorisi: Russel paradoksundan sonra kümelerin iyi tanımlı olmadığı anlaşılmış, Hegel ve zamanın önde gelen diğer matematikçileri tarafından teorem-ispat adımlarıyla ilerleyen yaklaşımdır. Her adımda kullanılan her nesnenin teorem-ispatı bilinmelidir. Temel analiz dersleri aksiyomatik matematiğin bir ürünüdür.

Ancak aksiyomatik yaklaşımın da soruna çözüm getirmediği Kurt Gödel tarafından 1931'de ispatlanan "tamamlanmış olamama" teoremleriyle (incompleteness theorems) anlaşıldı. Gödel, doktora tezinde ispatladığı örneklerle "Basit aritmetik yöntemler gibi temel teoremlerin ispatlanmasında, doğruluğu önceden ispatlanmış teoremlerin yanısıra kanıtlanamaz bazı bildirimlerin gerekliliğini" ispatlamıştı.

Sonuçta büyük buhrana düşen matematikçiler "tamamlanmış olamama teoremleri" nin yine de çok uç noktalar için geçerli olduğunu savunarak aksiyomatik yaklaşımı seçmişlerdir. Hatta Gödel'in ispatı için kullandığı problemleri yapay, amaca yönelik olmayan ve karmaşık(acaip) olarak yorumlamışlardır.